Закон био

Био–Савара–Лапласа

3.4.1. Индукция магнитного поля отрезка
прямолинейного проводника с током

Для
всех бесконечно малых элементов dl отрезка векторы dl
и r лежат в плоскости листа. Поэтому векторы dB,
созданные в выбранной нами точке различными элементами проводника направлены
одинаково – перпендикулярно плоскости листа. Следовательно, сложение векторов dB
можно заменить сложением их модулей dB.

Из рисунка видно, что r = b/sina (b – расстояние от проводника до инте-ресующей нас точки), и

.

Тогда индукция, созданная
элементом проводника dl, равна

.

Индукция магнитного поля, созданного
всем проводником, может быть найдена как интеграл от dB в пределах от
 a1 до + a2:

Иногда удобнее воспользоваться другим
выражением:

(обратите внимание на рисунок, показывающий углы q1 и q2). Обратите также внимание на то, что
если точка  расположена так, как показано на следующем рисунке, то q2 меняет знак и формула для расчёта магнитного поля
прямолинейного отрезка записывается следующим образом:

Обратите также внимание на то, что
если точка  расположена так, как показано на следующем рисунке, то q2 меняет знак и формула для расчёта магнитного поля
прямолинейного отрезка записывается следующим образом:

.

 прямолинейного
проводника с током

Если длина прямого проводника бесконечно
велика, то a= 0, а  a= p.

В этом случае индукция магнитного
поля, созданного проводником, будет равна

.

Таким образом,
индукция магнитного поля, созданного бесконечно длинным проводником прямо
пропорциональна току в проводнике и обратно пропорциональна расстоянию от
проводника до интересующей нас точки.

Дополнительно рассмотрим
магнитное поле, созданное бесконечным проводником, который изогнут под прямым
углом.

Ограничимся получением
расчётной формулы для точки А, расположенной на продолжении одной из
половин проводника.

Участок DB в точке А
не создаёт магнитного поля, так как для него a1 и a2 равны 0.

Для участка ВС a1 = 90, a2 =
-180. Поэтому индукция, созданная этим участком, равна

.

Таким образом, индукция
магнитного поля в точке А равна половине индукции, созданной прямым
бесконечно длинным проводником с таким же током.

3.4.3.  Индукция магнитного поля в центре квадрата

Рассмотрим квадрат со стороной а, в котором течёт ток I.

Все стороны
квадрата создают в его центре одинаковое магнитное поле. Поэтому если индукция,
созданная одной стороной, равна В, то магнитная индукция, созданная
всеми сторонами, равна 4В.

В рассматриваемом случае a1 = 45, а a2 =
135 (см. рисунок).

Индукция магнитного поля,
созданного одной стороной, равна:

.

Соответственно индукция магнитного
поля, созданного всеми сторонами, равна

.

В показанном на рисунке случае
индукция магнитного поля направлена перпендикулярно плоскости квадрата на нас.

3.4.4. Расчёт магнитного поля замкнутого кругового
тока

(витка
с током).

Пусть радиус витка равен R, а
ток в нём – I.

Вначале рассмотрим расчёт поля в
центре витка.

Каждый элемент тока будет создавать
индукцию, направленную вдоль оси витка. Поэтому, как и в предыдущем случае, сложение
dB алгебраическое и

,

(в каждой точке a = 90)

.

Поле на
оси витка на расстоянии b от центра витка рассчитывается несколько
сложнее. В этом случае векторы dB не параллельны друг
другу.

При суммировании составляющие
векторов dB, перпендикулярные оси, уничтожаются, а параллельные
оси – складываются.

Из рисунка видно, что

;

.

Проинтегрировав это выражение по всему
контуру, получаем

.

История открытия закона

Электрическое и магнитное поле сначала рассматривали отдельно. Экспериментально установил факт порождения электрическим током магнитного поля датский учёный Ханс Кристиан Эрстед в 1820 году. Публичная демонстрация этого эффекта показала, что под воздействием электрического тока происходит отклонение магнитной стрелки. Открытия Эрстеда послужили основанием для исследований, проводимых Био и Саваром. Последние постарались выявить математические закономерности рассматриваемой зависимости.

Жан-Батист Био был профессором физики в Сорбонне. Узнав о достижениях Эрстеда, он с помощью коллеги Феликса Савара стал проверять воздействие проводников на различные разновидности магнитных стрелок. В итоге была найдена математически выраженная закономерность зависимости.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Два параллельных бесконечно длинных провода, по которым текут в одном направлении токи I1 = 60 А и I2 = 30 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга в воздухе . Определить магнитную индукцию B в точках:

  1. А1, расположенной между проводниками с током на расстоянии d/2 от каждого из них;
  2. А2, расположенной на расстоянии d/2 от проводника с током I1 и на расстоянии 3d/2 от проводника с током I2;
  3. А3,, расположенной на расстоянии R1 = 5 см от первого тока и на расстоянии R2 = 12 см от второго тока.

1Найдем магнитную индукция в точке А1.21.-22.-2-1BBB1B2211.Найдем магнитную индукция в точке А212B = B1 + B2,12Найдем магнитную индукция в точке А3.B = B1 + B21 2.Задача 2.Длинный провод с током I = 50 А изогнут под углом =2/3 и находится в воздухе. Определить магнитную индукцию в точке А1, находящуюся на продолжении одной из сторон угла на расстоянии d = 5 см от его вершины, и в точке А2,, находящейся на биссектрисе угла на расстоянии d = 5 см от его вершины.122 ,1B = 17 мТл.2В = В1 + B2B = 35 мТл.Задача3.Бесконечно длинный проводник, находящийся в воздухе, изогнут так, как это показано на рисунке. Радиус дуги R = 10 см. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого в точке О током I = 80 А, текущем в этом проводнике.B = B1 + B2 + B3B3 = 0 ).B = 4,14 мкТл.Задача 4.По тонкому проводящему кольцу, находящемуся в воздухе, радиуса R = 10 см течет ток I = 80 А. Найти магнитную индукцию в точке А, Равноудаленной от всех точек кольца на расстояние, а = 20 см. dB,Idl21Задача 5.Определить магнитную индукцию поля, созданного соленоидом длиной L=5 см и радиусом витка R =2 см , в точке, отстоящей от конца соленоида на расстояние а = 0,5 см, если по соленоиду протекает ток I = 50 А.Cоленоид имеет N =20 витков.R = 0,02 м = 2.10-2 мL = 0,05 м = 5.10-2 ма = 0,005 м = 5.10-3 м I = 50 А

Самоиндукция

Самоиндукция – это явление возникновения ЭДС индукции в проводнике в результате изменения тока в нем.

При изменении силы тока в катушке происходит изменение магнитного потока, создаваемого этим током. Изменение магнитного потока, пронизывающего катушку, должно вызывать появление ЭДС индукции в катушке.

В соответствии с правилом Ленца ЭДС самоиндукции препятствует нарастанию силы тока при включении и убыванию силы тока при выключении цепи.

Это приводит к тому, что при замыкании цепи, в которой есть источник тока с постоянной ЭДС, сила тока устанавливается через некоторое время.

При отключении источника ток также не прекращается мгновенно. Возникающая при этом ЭДС самоиндукции может превышать ЭДС источника.

Явление самоиндукции можно наблюдать, собрав электрическую цепь из катушки с большой индуктивностью, резистора, двух одинаковых ламп накаливания и источника тока. Резистор должен иметь такое же электрическое сопротивление, как и провод катушки.

Опыт показывает, что при замыкании цепи электрическая лампа, включенная последовательно с катушкой, загорается несколько позже, чем лампа, включенная последовательно с резистором. Нарастанию тока в цепи катушки при замыкании препятствует ЭДС самоиндукции, возникающая при возрастании магнитного потока в катушке.

При отключении источника тока вспыхивают обе лампы. В этом случае ток в цепи поддерживается ЭДС самоиндукции, возникающей при убывании магнитного потока в катушке.

ЭДС самоиндукции ​ \( \varepsilon_ \) ​, возникающая в катушке с индуктивностью ​ \( L \) ​, по закону электромагнитной индукции равна:

ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна индуктивности катушки и скорости изменения силы тока в катушке.

«Катушка ниток»

Катушка индуктивности представляет собой намотанную изолированную медную проволоку на твердое основание. Что касается изоляции, то выбор материала широк – это и лак, и проводная изоляция, и ткань. Величина магнитного потока зависит от площади цилиндра. Если увеличить ток в катушке, то магнитное поле будет становиться все больше и наоборот.

Если подать электрический ток на катушку, то в ней возникнет напряжение, противоположное напряжению тока, но оно внезапно исчезает. Такого рода напряжение называется электродвижущей силой самоиндукции. В момент включения напряжения на катушку сила тока меняет свое значение от 0 до некоего числа. Напряжение в этот момент тоже меняет значение, согласно закону Ома:

I = U : R,

где I характеризует силу тока, U – показывает напряжение, R – сопротивление катушки.

Еще одной особенной чертой катушки является следующий факт: если разомкнуть цепь «катушка – источник тока», то ЭДС добавится к напряжению. Ток тоже вначале вырастет, а потом пойдет на спад. Отсюда вытекает первый закон коммутации, в котором говорится, что сила тока в катушке индуктивности мгновенно не меняется.

Катушку можно разделить на два вида:

  1. С магнитным наконечником. В роли материала сердца выступают ферриты и железо. Сердечники служат для повышения индуктивности.
  2. С немагнитным. Используются в случаях, когда индуктивность не больше пяти миллиГенри.

Устройства различаются и по внешнему виду, и внутреннему строению. В зависимости от таких параметров находится индуктивность катушки. Формула в каждом случае разная. Например, для однослойной катушки индуктивность будет равна:

L = 10µ0ΠN2R2 : 9R + 10l.

А вот уже для многослойной другая формула:

L= µ0N2R2 :2Π(6R + 9l + 10w).

Основные выводы, связанные с работой катушек:

  1. На цилиндрическом феррите самая большая индуктивность возникает в середине.
  2. Для получения максимальной индуктивности необходимо близко наматывать витки на катушку.
  3. Индуктивность тем меньше, чем меньше количество витков.
  4. В тороидальном сердечнике расстояние между витками не играет роли катушки.
  5. Значение индуктивности зависит от «витков в квадрате».
  6. Если последовательно соединить индуктивности, то их общее значение равно сумме индуктивностей.
  7. При параллельном соединении нужно следить, чтобы индуктивности были разнесены на плате. В противном случае их показания будут неправильными за счет взаимного влияния магнитных полей.

Приложения для аэродинамики

На рисунке показана скорость ( ), индуцированная в точке P элементом вихревой нити ( ) силы .dV{\ displaystyle dV}dл{\ displaystyle dl}Γ{\ displaystyle \ Gamma}

Закон Био – Савара также используется в аэродинамической теории для расчета скорости, вызванной вихревыми линиями .

В аэродинамическом приложении роли завихренности и тока поменялись местами по сравнению с магнитным приложением.

В статье Максвелла 1861 года «О физических силовых линиях» напряженность магнитного поля H напрямую приравнивалась к чистой завихренности (спину), тогда как B была взвешенной завихренностью, которая была взвешена по плотности вихревого моря. Максвелл считал магнитную проницаемость μ мерой плотности вихревого моря. Следовательно, отношения,

Ток магнитной индукции
Bзнак равноμЧАС{\ Displaystyle \ mathbf {B} = \ mu \ mathbf {H}}

был по существу вращательной аналогией линейной зависимости электрического тока,

Электроконвекционный ток

Jзнак равноρv{\ Displaystyle \ mathbf {J} = \ rho \ mathbf {v}}
где ρ — плотность электрического заряда.

B рассматривался как своего рода магнитный поток вихрей, выровненных в их осевых плоскостях, где H — окружная скорость вихрей.

Уравнение электрического тока можно рассматривать как конвективный ток электрического заряда, который включает линейное движение. По аналогии, магнитное уравнение представляет собой индуктивный ток, включающий спин. В индуктивном токе нет линейного движения в направлении вектора B. Магнитный индукционный ток представляет собой силовые линии. В частности, он представляет собой линии силы закона обратных квадратов.

В аэродинамике индуцированные воздушные потоки образуют соленоидальные кольца вокруг оси вихря. Можно провести аналогию с тем, что ось вихря играет роль электрического тока в магнетизме. Это ставит воздушные потоки в аэродинамике (поле скорости жидкости) на эквивалентную роль вектора магнитной индукции B в электромагнетизме.

В электромагнетизме линии B образуют соленоидальные кольца вокруг источника электрического тока, тогда как в аэродинамике воздушные потоки (скорость) образуют соленоидальные кольца вокруг оси источника вихря.

Следовательно, в электромагнетизме вихрь играет роль «следствия», тогда как в аэродинамике вихрь играет роль «причины». Тем не менее, когда мы смотрим на линии B изолированно, мы видим в точности аэродинамический сценарий, поскольку B — ось вихря, а H — окружная скорость, как в статье Максвелла 1861 года.

В двух измерениях для вихревой линии бесконечной длины индуцированная скорость в точке определяется выражением

vзнак равноΓ2πр{\ displaystyle v = {\ frac {\ Gamma} {2 \ pi r}}}

где Γ — сила вихря, а r — расстояние по перпендикуляру между точкой и линией вихря. Это похоже на магнитное поле, создаваемое на плоскости бесконечно длинным прямым тонким проводом, перпендикулярным плоскости.

Это предельный случай формулы для вихревых сегментов конечной длины (аналогично конечной проволоке):

vзнак равноΓ4πрпотому что⁡А-потому что⁡B{\ displaystyle v = {\ frac {\ Gamma} {4 \ pi r}} \ left }

где A и B — углы (со знаком) между линией и двумя концами сегмента.

Закон Био – Савара, закон обхода Ампера и закон Гаусса для магнетизма

В магнитостатической ситуации магнитное поле B, рассчитанное по закону Био – Савара, всегда будет удовлетворять закону Гаусса для магнетизма и закону Ампера :

Схема доказательства (нажмите «показать» справа.)
Начиная с закона Био – Савара:
B(р)знак равноμ4π∭Vd3лJ(л)×р-л|р-л|3{\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ iiint _ {V} d ^ {3} l \ mathbf {J} (\ mathbf {l}) \ times {\ frac {\ mathbf {r} — \ mathbf {l}} {| \ mathbf {r} — \ mathbf {l} | ^ {3}}}}

Подставляя отношение

р-л|р-л|3знак равно-∇(1|р-л|){\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {r} — \ mathbf {l}} {| \ mathbf {r} — \ mathbf {l} | ^ {3}}} = — \ nabla \ left ({\ frac { 1} {| \ mathbf {r} — \ mathbf {l} |}} \ right)}

и используя , а также тот факт, что J не зависит от , это уравнение можно переписать как
р{\ displaystyle \ mathbf {r}}

B(р)знак равноμ4π∇×∭Vd3лJ(л)|р-л|{\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ nabla \ times \ iiint _ {V} d ^ {3} l { \ frac {\ mathbf {J} (\ mathbf {l})} {| \ mathbf {r} — \ mathbf {l} |}}}

Поскольку расходимость ротора всегда равна нулю, это устанавливает закон Гаусса для магнетизма . Затем, взяв локон с обеих сторон, используя формулу для и снова используя тот факт, что J не зависит от , мы в конечном итоге получим результат
р{\ displaystyle \ mathbf {r}}

∇×Bзнак равноμ4π∇∭Vd3лJ(л)⋅∇(1|р-л|)-μ4π∭Vd3лJ(л)∇2(1|р-л|){\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ nabla \ iiint _ {V} d ^ {3} l \ mathbf {J} ( \ mathbf {l}) \ cdot \ nabla \ left ({\ frac {1} {| \ mathbf {r} — \ mathbf {l} |}} \ right) — {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ iiint _ {V} d ^ {3} l \ mathbf {J} (\ mathbf {l}) \ nabla ^ {2} \ left ({\ frac {1} {| \ mathbf { r} — \ mathbf {l} |}} \ right)}

Наконец, подключив отношения

∇(1|р-л|)знак равно-∇л(1|р-л|),∇2(1|р-л|)знак равно-4πδ(р-л){\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ left ({\ frac {1} {| \ mathbf {r} — \ mathbf {l} |}} \ right) & = — \ nabla _ {l} \ left ({\ frac {1} {| \ mathbf {r} — \ mathbf {l} |}} \ right), \\\ nabla ^ {2} \ left ({\ frac {1} {| \ mathbf {r } — \ mathbf {l} |}} \ right) & = — 4 \ pi \ delta (\ mathbf {r} — \ mathbf {l}) \ end {align}}}

(где δ — дельта-функция Дирака ), используя тот факт, что дивергенция J равна нулю (из-за предположения о магнитостатике ), и выполняя интегрирование по частям , результат оказывается следующим:

∇×Bзнак равноμJ{\ Displaystyle \ набла \ раз \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ mathbf {J}}

т.е. закон Ампера . (Из-за предположения о магнитостатике , поэтому в законе Ампера нет дополнительного .)
∂E∂тзнак равно{\ Displaystyle \ partial \ mathbf {E} / \ partial t = \ mathbf {0}}

В , не -magnetostatic ситуации, закон Био-Савара перестает быть истинным (оно вытесняется Уравнения Ефименко ), в то время как закон Гаусса для магнетизма и закон Максвелла-Ампера по — прежнему верно.

Примечания

  1. Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: Вили. Глава 5. ISBN 0-471-30932-X.
  2. Электромагнетизм (2-е издание), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN  978-0-471-92712-9
  3. Принцип суперпозиции справедлив для электрического и магнитного полей, потому что они являются решением набора линейных дифференциальных уравнений , а именно уравнений Максвелла , где ток является одним из «исходных членов».
  4. ^
  5. Knight, Randall (2017). Физика для ученых и инженеров (4-е изд.). Pearson Higher Ed. п. 800.
  6. См. Предостерегающую сноску в Griffiths p. 219 или обсуждение в Jackson p. 175–176.
  7. Максвелл, Дж. К. «О физических силовых линиях» . Wikimedia Commons . Проверено 25 декабря 2011 года .
  8. ^ См. Джексон, стр. 178–79 или Гриффитс, стр. 222–24. Изложение в Griffiths особенно обстоятельно, со всеми подробностями прописано.
  9. Фейнман Р., Лейтон Р. и Сэндс М. Лекции Фейнмана по физике. Vol. 2, гл. 14 (1964). Аддисон-Уэсли, Массачусетс, Пало-Альто, Лондон.

Основные формулы для вычисления вектора МИ

Вектор магнитной индукции, формула которого B = Fm/I*∆L, можно находить, применяя другие математические вычисления.

Закон Био-Савара-Лапласа

Закон полного тока

Описывает правила нахождения B→ магнитного поля, которое создаёт постоянный электроток. Это экспериментально установленная закономерность. Био и Савар в 1820 году выявили её на практике, Лапласу удалось сформулировать. Этот закон является основополагающим в магнитостатике. При практическом опыте рассматривался неподвижный провод с малым сечением, через который пропускали электроток. Для изучения выбирался малый участок провода, который характеризовался вектором dl. Его модуль соответствовал длине рассматриваемого участка, а направление совпадало с направлением тока.

Интересно. Лаплас Пьер Симон предложил считать током даже движение одного электрона и на этом утверждении, с помощью данного закона, доказал возможность определения МП продвигающегося точечного заряда.

Согласно этому физическому правилу, каждый сегмент dl проводника, по которому протекает электрический ток I, образовывает в пространстве вокруг себя на промежутке r и под углом α магнитное поле dB

dB = µ0 *I*dl*sin α /4*π*r2,

где

  • dB – магнитная индукция, Тл;
  • µ0 = 4 π*10-7 – магнитная постоянная, Гн/м;
  • I – сила тока, А;
  • dl – отрезок проводника, м;
  • r – расстояние до точки нахождения магнитной индукции, м;
  • α – угол, образованный r и вектором dl.

Важно! Согласно закону Био-Савара-Лапласа, суммируя векторы магнитных полей отдельных секторов, можно определить МП нужного тока. Оно будет равно векторной сумме


Закон Био-Савара-Лапласа

Существуют формулы, описывающие этот закон для отдельных случаев МП:

  • поля прямого перемещения электронов;
  • поля кругового движения заряженных частиц.

Формула для МП первого типа имеет вид:

В = µ* µ0*2*I/4*π*r.

Для кругового движения она выглядит так:

В = µ*µ0*I/4*π*r.

В этих формулах µ – это магнитная проницаемость среды (относительная).

Рассматриваемый закон вытекает из уравнений Максвелла. Максвелл вывел два уравнения для МП, случай, где электрическое поле постоянно, как раз рассматривают Био и Савар.

Принцип суперпозиции

Для МП существует принцип, согласно которому общий вектор магнитной индукции в определённой точке равен векторной сумме всех векторов МИ, созданных разными токами в данной точке:

B→= B1→+ B2→+ B3→… + Bn→


Принцип суперпозиции

Теорема о циркуляции

Изначально в 1826 году Андре Ампер сформулировал данную теорему. Он разобрал случай с постоянными электрическими полями, его теорема применима к магнитостатике. Теорема гласит: циркуляция МП постоянного электричества по любому контуру соразмерна сумме сил всех токов, которые пронизывают этот контур.

Стоит знать! Тридцать пять лет спустя Д. Максвелл обобщил это утверждение, проведя параллели с гидродинамикой.

Другое название теоремы – закон Ампера, описывающий циркуляцию МП.

Математически теорема записывается следующим образом.


Математическая формула теоремы о циркуляции

где:

  • B→– вектор магнитной индукции;
  • j→ – плотность движения электронов.

Это интегральная форма записи теоремы. Здесь в левой части интегрируют по некоторому замкнутому контуру, в правой части – по натянутой поверхности на полученный контур.

Магнитный поток

Одна из физических величин, характеризующих уровень МП, пересекающего любую поверхность, – магнитный поток. Обозначается буквой φ и имеет единицу измерения вебер (Вб). Эта единица характерна для системы СИ. В СГС магнитный поток измеряется в максвеллах (Мкс):

108 Мкс = 1 Вб.

Магнитный поток φ определяет величину МП, пронизывающую определённую поверхность. Поток φ зависит от угла, под которым поле пронизывает поверхность, и силы поля.

Формула для расчёта имеет вид:

φ = |B*S| = B*S*cosα,

где

  • В – скалярная величина градиента магнитной индукции;
  • S – площадь пересекаемой поверхности;
  • α – угол, образованный потоком Ф и перпендикуляром к поверхности (нормалью).

Внимание! Поток Ф будет наибольшим, когда B→ совпадёт с нормалью по направлению (угол α = 00). Аналогично Ф = 0, когда он проходит параллельно нормали (угол α = 900)


Магнитный поток

Вектор магнитной индукции, или магнитная индукция, указывает направление поля. Применяя простые методы: правило буравчика, свободно ориентирующуюся магнитную стрелку или контур с током в магнитном поле, можно определить направление действия этого поля.

Направление вектора МИ

Направление магнитных полей может указать стрелка магнита, помещаемая в эти поля. Она будет крутиться до тех пор, пока не остановится. Северный конец стрелки покажет, куда ориентирован B→ орт того или иного поля.

Линии магнитной индукции

Таким же образом ведёт себя рамка с током, имеющая возможность без помех ориентироваться в МП. Направленность вектора индукции указывает ориентацию нормали к такому замкнутому электромагнитному контуру.

Внимание! Здесь используют правило буравчика (правого винта). Если винт вращать так, как направлен ток в рамке, то поступательное продвижение винта совпадёт с направлением положительной нормали

В некоторых случаях, чтобы найти направление, применяют правило правой руки.


Определение направления B→

Наглядное отображение линий МИ

Линию, к которой можно провести касательную, совпадающую с B→, называют линией магнитной индукции (МИ). С помощью таких линий можно визуально отобразить магнитное поле. Это сомкнутые контурные чёрточки, которые охватывают токи. Их густота всегда пропорциональна величине B→ в конкретной точке МП.

Информация. Когда имеют дело с МП прямого движения заряженных частиц, то эти линии изображаются в виде концентрических окружностей. Они имеют свой центр, расположенный на прямой линии с током, и находятся в плоскостях, расположенных под прямым углом к нему.

С направлением магнитных линий также можно определиться, пользуясь правилом буравчика.


Графическое обозначение линий МИ

Закон Био – Савара, закон обхода Ампера и закон Гаусса для магнетизма

В магнитостатический ситуация, магнитное поле B как рассчитано по закону Био – Савара, всегда будет удовлетворять Закон Гаусса для магнетизма и Закон Ампера:

Схема доказательства (Щелкните «показать» справа.)
Начиная с закона Био – Савара:
B(р)=μ4π∭Vd3лJ(л)×р−л|р−л|3{ displaystyle mathbf {B} ( mathbf {r}) = { frac { mu _ {0}} {4 pi}} iiint _ {V} d ^ {3} l mathbf {J} ( mathbf {l}) times { frac { mathbf {r} — mathbf {l}} {| mathbf {r} — mathbf {l} | ^ {3}}}}

Подставляя отношение

р−л|р−л|3=−∇(1|р−л|){ displaystyle { frac { mathbf {r} — mathbf {l}} {| mathbf {r} — mathbf {l} | ^ {3}}} = — nabla left ({ frac { 1} {| mathbf {r} — mathbf {l} |}} right)}

и используя , а также тот факт, что J не зависит от р{ displaystyle mathbf {r}}, это уравнение можно переписать как

B(р)=μ4π∇×∭Vd3лJ(л)|р−л|{ displaystyle mathbf {B} ( mathbf {r}) = { frac { mu _ {0}} {4 pi}} nabla times iiint _ {V} d ^ {3} l { frac { mathbf {J} ( mathbf {l})} {| mathbf {r} — mathbf {l} |}}}

Поскольку дивергенция ротора всегда равна нулю, это устанавливает Закон Гаусса для магнетизма. Затем, взяв завиток с обеих сторон, используя формулу для , и снова используя тот факт, что J не зависит от р{ displaystyle mathbf {r}}, мы в итоге получаем результат

∇×B=μ4π∇∭Vd3лJ(л)⋅∇(1|р−л|)−μ4π∭Vd3лJ(л)∇2(1|р−л|){ displaystyle nabla times mathbf {B} = { frac { mu _ {0}} {4 pi}} nabla iiint _ {V} d ^ {3} l mathbf {J} ( mathbf {l}) cdot nabla left ({ frac {1} {| mathbf {r} — mathbf {l} |}} right) — { frac { mu _ {0}} {4 pi}} iiint _ {V} d ^ {3} l mathbf {J} ( mathbf {l}) nabla ^ {2} left ({ frac {1} {| mathbf { r} — mathbf {l} |}} right)}

Наконец, подключив отношения

∇(1|р−л|)=−∇л(1|р−л|),{ displaystyle nabla left ({ frac {1} {| mathbf {r} — mathbf {l} |}} right) = — nabla _ {l} left ({ frac {1} {| mathbf {r} — mathbf {l} |}} right),}
∇2(1|р−л|)=−4πδ(р−л){ displaystyle nabla ^ {2} left ({ frac {1} {| mathbf {r} — mathbf {l} |}} right) = — 4 pi delta ( mathbf {r} — mathbf {l})}

(где δ — Дельта-функция Дирака), используя тот факт, что расходимость J равен нулю (в силу предположения магнитостатика), и выполнение интеграция по частям, результат оказывается

∇×B=μJ{ Displaystyle набла раз mathbf {B} = mu _ {0} mathbf {J}}

т.е. Закон Ампера. (Из-за предположения магнитостатика, ∂E∂т={ Displaystyle partial mathbf {E} / partial t = mathbf {0}}, поэтому нет лишних в законе Ампера.)

В не-магнитостатической ситуации закон Био – Савара перестает выполняться (его заменяет Уравнения Ефименко), пока Закон Гаусса для магнетизма и Закон Максвелла – Ампера все еще верны.

Соленоид

Соленоид отличается от обычной катушки по двум признакам:

  • Длина обмотки превышает диаметр в несколько раз;
  • Толщина обмотки меньше диаметра катушки также в несколько раз.


Соленоидальный тип катушки Параметры соленоида можно узнать из такого выражения:

L=µ0N2S/l,

где:

  • µ0 – магнитная постоянная;
  • N – количество витков;
  • S – площадь поперечного сечения обмотки;
  • l – длина обмотки.

Важно! Приведенное выражение справедливо для соленоида без сердечника. В противном случае необходимо дополнительно внести множитель µ, который равен магнитной проницаемости сердечника. Чем большую магнитную проницаемость будет иметь сердечник, тем больше увеличится итоговое значение

Чем большую магнитную проницаемость будет иметь сердечник, тем больше увеличится итоговое значение.

Применение катушек в технике

Явление электромагнитной индукции известно уже давно и широко применяется в технике. Примеры использования:

  • сглаживание пульсаций и помех, накопление энергии;
  • создание магнитных полей в различных устройствах;
  • фильтры цепей обратной связи;
  • создание колебательных контуров;
  • трансформаторы (устройство из двух катушек, связанных индуктивно);
  • силовая электротехника использует для ограничения тока при к. з. на ЛЭП (катушки индуктивности, называются реакторами);
  • ограничение тока в сварочных аппаратах — катушки индуктивности делают его работу стабильнее, уменьшая дугу, что позволяет получить ровный сварочный шов, имеющий наибольшую прочность;
  • применение катушек в качестве электромагнитов различных исполнительных механизмов;
  • обмотки электромагнитных реле;
  • индукционные печи;
  • установление качества железных руд, исследование горных пород при помощи определения магнитной проницаемости минералов.

Закон Био-Савара и уравнения Максвелла

Экспериментально подтвержденный закон в формулировке Био-Савара был важным этапом в познании электромагнитных полей. В частности, на их основе Максвелл разработал свои уравнения, описывающие такие поля. Впоследствии была сделана математическая формулировка закона на основании этих уравнений.

Однако надо отметить, что вычисления Максвелла более сложные по сравнению с тем, как их трактует закон о магнитном поле Био-Савара. Формулировка Максвелла с учётом того, что электрическое поле постоянно, выглядит таким образом:

Эта формула может быть применена к контуру произвольной сложности. Если сила тока I является постоянной величиной, то его можно вынести за знак интеграла. В формуле использованы знаки умножения в смысле векторной операции. Если в качестве точки отсчёта будет использована точка, где происходит определение напряжённости электромагнитного поля, то формула может быть упрощена и будет выглядеть таким образом.

Физический смысл магнитной индукции (МИ)

Возможность действовать на предмет магнитным полем (МП) определяет сущность настоящей индукции. Она появляется в момент перемещения в катушке индуктивности магнита постоянной природы. Результатом такого движения является появление тока, с одновременным увеличением магнитного потока. Поскольку обмотка у катушки металлическая, а структура металла – кристаллическая решётка, то можно объяснить физические свойства этого явления.

Электроны, находящиеся в этой решётке, при отсутствии магнитного воздействия находятся в покое. Движения никакого нет. Оно начинается в тот момент, когда электроны попадают под воздействие переменного МП (поле изменяется при перемещении постоянного магнита).

Значение возникающего в катушке тока зависит от диаметра жилы и количества витков, физических характеристик магнита и скорости его движения.

Единица размерности в системе Си рассматриваемой характеристики – тесла. Она обозначается буквами Тл.

Важно! Электроны в решётке, после попадания катушки в МП, разворачиваются под некоторым углом и выстраиваются вдоль силовых линий МП. Количество ориентированных частиц и однородность их размещения зависимы от величины поля

Вектор – это вектор индукции магнитного поля (градиентный параметр МП).


Вектор магнитной индукции

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Электрика
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Adblock
detector