Магнитное поле. индукция и напряженность магнитного поля. закон ампера

Электромагнитная индукция: задачи с решением

Прежде чем решать задачи на электромагнитную индукцию, вспомните теорию и держите под рукой полезные формулы.

Не знаете, как подступиться к задаче? Держите универсальную памятку по решению абсолютно любых физических задач.

Задача №1 на закон электромагнитной индукции

Условие

Проводник, свитый в 5 витков, находится в магнитном поле. Магнитный поток через поверхность витка изменяется по закону Фt=50-3t (Вб) . Определить направление и силу индукционного тока в проводнике, если его сопротивление равно 5 Ом.

Решение

Согласно основному закону электромагнитной индукции в проводнике возникает ЭДС индукции, величина которой определяется скоростью изменения магнитного потока, пронизывающего контур:

ε=-NdФdt

Индукционный ток в проводнике можно найти по закону Ома:

I=εR

Вычислим производную и найдем ток:

dФdt=d50-3tdt=-3

Тогда:

I=3NR=3·55=3 А

Уменьшение потока вызывает увеличение ЭДС, то есть направления потока и поля индукционного тока совпадают:

Ответ: 3 А.

Задача №2 на закон электромагнитной индукции

Условие

По катушке индуктивностью L=8 мкГн течет ток I=6 А. Определить среднее значение ЭДС самоиндукции, возникающей в контуре, если сила тока изменяется практически до нуля за время ∆t=5 мс.

Решение

По определению, магнитный поток равен:

Ф=L·I

ЭДС самоиндукции определим по закону Фарадея:

<ε>=∆Ф∆t=-L∆I∆t

Учитывая, что индуктивность неизменна, и магнитный поток изменяется только за счёт изменения силы тока до нуля (ΔI = I), можно записать:

<ε>=-LI∆t

Подставим числа и вычислим:

<ε>=-8·10-6·65·10-3=-9,6·10-3 В

Ответ: -9,6 мВ.

Задача №3 на закон электромагнитной индукции

Условие

Магнитный поток через контур проводника сопротивлением 0,04 Ом за 3 секунды изменился на 0,013 Вб. Найдите силу тока в проводнике, если изменение потока происходило равномерно.

Решение

В данном случае силу тока можно выразить через закон Ома с учетом закона электромагнитной индукции:

Ii=εiR=-∆Ф∆t1R

Подставляем значения и вычисляем:

Ii=,0133·,04=,11 А.

Ответ: 0,11 А.

Задача №4 на закон электромагнитной индукции

Условие

Прямой проводящий стержень длиной 40 см находится в однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл. Концы стержня замкнуты гибким проводом, находящимся вне поля. Сопротивление всей цепи 0,5 Ом. Какая мощность потребуется для равномерного перемещения стержня перпендикулярно линиям магнитной индукции со скоростью 10 м/с?

Решение

Если стержень будет двигаться равномерно, магнитный поток через площадь, «заметаемую» стержнем за некоторое время, будет равен:

Ф=ВS=Blvt

При этом разность потенциалов на стержне будет равна ЭДС и, согласно закону электромагнитной индукции Фарадея:

U=dФdt=Blv

Искомая мощность будет равна мощности, выделяемой на сопротивлении:

P=U2R=Blv2R=,1·,4·102,5=,32 Вт

Ответ: 0,32 Вт.

Нужно больше задач на мощность? Читайте наш блог!

Задача №5 на закон электромагнитной индукции

Условие

В проволочное кольцо, присоединенное к баллистическому гальванометру, вставили прямой магнит. При этом по цепи прошел заряд q=50мкКл. Определить изменение магнитного потока через кольцо, если сопротивление цепи гальванометра R=10 Oм.

Решение

По закону Фарадея, ЭДС находится как отношения изменения магнитного потока ко времени, за которое оно произошло:

εi=∆Ф∆t∆Ф=εi·t

C другой стороны, по закону Ома, можно записать:

εi=IR

Ток, в свою очередь, равен отношению проходящего заряда ко времени:

I=∆Q∆t

C учетом всего этого выражения для ЭДС и потока можно переписать:

εi=R·∆Q∆t∆Ф= R∆Q∆t∆t=R∆Q∆Ф=10·50·10-6=5·10-4 Вб

Ответ: 0,5 мВб.

3.22. Уравнение Максвелла. Обобщение теории магнитного поля (обобщение электродинамики)

Имеется замкнутый контур и внешнее магнитное поле, меняющееся во времени. Если внешнее магнитное поле создается соленоидом с током, то изменение магнитного поля через контур произойдет, если

в соленоид вносим сердечник,
меняем ток в этом соленоиде,
изменяем положение соленоида относительно контура.

Тогда в контуре появляется ЭДС по закону Фарадея-Ленца, препятствующая изменению внешнего магнитного поля, то есть стрелка прибора, который можно подключить к контуру, отклоняется, в контуре идет движении зарядов, то есть появляется электрический ток. Так как до включения магнитного поля заряды в проводнике находились в неподвижности, значит после включения поля сила Лоренца не должно действовать на заряды. Откуда же берется ЭДС? Единственным объяснением появления ЭДС в контуре, то есть движения зарядов, является появление электрического поля, сила Кулона которого заставляет заряды двигаться. Напряженность такого поля

Не зная источника внешнего магнитного поля можно записать для ЭДС в контуре

Примем

— оператор дифференцирования по координатам (декартовым или полярным). Аналогично

. Окончательно имеем:

Напряжение, выраженное через законы электростатики, и ЭДС, возникшее в контуре, есть одно и то же. Тогда интегралы равны между собой, а, следовательно, и подинтегральные выражения равны.

. Здесь отображена связь между неоднородным электрическим полем и переменным магнитным.

Математические формулы

Индуктивность обычно обозначается буквой «L» в честь вклада физика Генриха Ленца на эту тему..

Математическое моделирование физического явления включает электрические переменные, такие как магнитный поток, разность потенциалов и электрический ток исследуемой цепи..

Формула по интенсивности тока

Математически формула магнитной индуктивности определяется как отношение между магнитным потоком в элементе (цепь, электрическая катушка, катушка и т. Д.) И электрическим током, который протекает через элемент.

В этой формуле:

L: индуктивность .

Φ: магнитный поток .

I: сила тока .

N: количество витков катушки .

Магнитный поток, который упоминается в этой формуле, является потоком, создаваемым только благодаря циркуляции электрического тока..

Для того чтобы это выражение было действительным, другие электромагнитные потоки, генерируемые внешними факторами, такими как магниты или электромагнитные волны, вне схемы исследования не должны рассматриваться..

Значение индуктивности обратно пропорционально интенсивности тока. Это означает, что чем больше индуктивность, тем меньше циркуляция тока по цепи и наоборот.

С другой стороны, величина индуктивности прямо пропорциональна числу витков (или витков), составляющих катушку. Чем больше спираль имеет индуктор, тем больше значение его индуктивности.

Это свойство также варьируется в зависимости от физических свойств проволоки, образующей катушку, а также от длины этого.

Формула для индуцированного стресса

Магнитный поток, связанный с катушкой или проводником, является сложной переменной для измерения. Однако возможно получить дифференциал электрического потенциала, вызванный изменениями упомянутого потока..

Эта последняя переменная не больше, чем электрическое напряжение, которое можно измерить с помощью традиционных инструментов, таких как вольтметр или мультиметр. Таким образом, математическое выражение, которое определяет напряжение на выводах индуктора, выглядит следующим образом:

В этом выражении:

В_L: разность потенциалов в индуктивности .

L: индуктивность .

ΔI: дифференциальный ток .

Δt: разница во времени .

Если это одна катушка, то V_L самоиндуцированное напряжение индуктора. Полярность этого напряжения будет зависеть от того, увеличивается ли величина тока (положительный знак) или уменьшается (отрицательный знак) при перемещении от одного полюса к другому.

Наконец, очистив индуктивность предыдущего математического выражения, мы получаем следующее:

Величину индуктивности можно получить, разделив значение самоиндуцированного напряжения между дифференциальным током по времени.

Формула по характеристикам индуктора

Материалы изготовления и геометрия индуктора играют фундаментальную роль в значении индуктивности. То есть помимо силы тока есть и другие факторы, которые на него влияют.

Формула, которая описывает значение индуктивности на основе физических свойств системы, выглядит следующим образом:

В этой формуле:

L: индуктивность .

N: число витков катушки .

μ: магнитная проницаемость материала [Wb / A · м].

S: площадь поперечного сечения ядра .

l: длина линии потока .

Величина индуктивности прямо пропорциональна квадрату числа витков, площади поперечного сечения катушки и магнитной проницаемости материала.

В свою очередь, магнитная проницаемость — это свойство материала притягивать магнитные поля и проходить через них. Каждый материал имеет различную магнитную проницаемость.

В свою очередь, индуктивность обратно пропорциональна длине катушки. Если индуктор очень длинный, значение индуктивности будет ниже.

Эксперименты Ампера

Такие же опыты повторял и Ампер. Правда, гальванометры, которыми пользовались оба ученых, были не такими, как у нас. Это были очень чувствительные к вибрациям приборы, поэтому их устанавливали в отдельной комнате. Ампер задвигал в катушку магнит и уходил в соседнюю комнату. Когда он шел, то не видел, что происходит с гальванометром, как прибор реагирует. Затем он вставлял магнит, возвращался в комнату с устройством, а стрелка показывала на отметку ноль. Ампер шел в лабораторию и вытаскивал магнит из катушки. Возвращался к гальванометру — стрелка опять показывала на ноль, физику никак не удавалось «поймать» индукцию проводника. Ампер разочаровывался снова и снова.

Самоиндукция

Представим себе любую электрическую цепь, параметры которой можно менять. Если мы изменим силу тока в этой цепи — например, подкрутим реостат или подключим другой источник тока — произойдет изменение магнитного поля. В результате этого изменения в цепи возникнет дополнительный индукционный ток за счет электромагнитной индукции, о которой мы говорили выше. Такое явление называется самоиндукцией, а возникающий при этом ток — током самоиндукции.

Формула магнитного потока для самоиндукции

Ф = LI

Ф — собственный магнитный поток

L — индуктивность контура

I — сила тока в контуре

Онлайн-подготовка к ОГЭ по физике поможет снять стресс перед экзаменом и получить высокий балл.

Самоиндукция — это возникновение в проводящем контуре ЭДС, создаваемой вследствие изменения силы тока в самом контуре.

Самоиндукция чем-то напоминает инерцию: как в механике нельзя мгновенно остановить движущееся тело, так и ток не может мгновенно приобрести определенное значение за счет самоиндукции.

Представим цепь, состоящую из двух одинаковых ламп, параллельно подключенных к источнику тока. Если мы последовательно со второй лампой включим в эту цепь катушку, то при замыкании цепи произойдет следующее:

первая лампа загорится практически сразу,
вторая лампа загорится с заметным запаздыванием.

При размыкании цепи сила тока быстро уменьшается, и возникающая ЭДС самоиндукции препятствует уменьшению магнитного потока. При этом индуцированный ток направлен так же, как и исходный. ЭДС самоиндукции может во многом раз превысить внешнюю ЭДС. Поэтому электрические лампочки так часто перегорают при отключении света.

ЭДС самоиндукции

ξ_is — ЭДС самоиндукции

ΔФ/Δt — скорость изменения магнитного потока [Вб/с]

ΔI/Δt — скорость изменения силы тока в контуре [А/с]

L — индуктивность

Знак минуса в формуле закона электромагнитной индукции указывает на то, что ЭДС индукции препятствует изменению магнитного потока, который вызывает ЭДС. При решении расчетных задач знак минуса не учитывается.

Постоянные магниты

В измерительных приборах, электрической аппаратуре и других устройствах в качестве источников намагничивающей силы широко применяют постоянные магниты.

На рис. 9.12 схематично изображены магнитные системы магнито-электрического измерительного прибора (а) и поляризованного реле (б).
Эти системы, как и большинство им подобных, имеют несколько участков: 1) из магнитно-твердого материала— постоянного магнита 1; 2) из магнитно-мягкого материала 2, служащего магнитопроводом, и воздушного зазора 3, форма и размеры которого определяются конструкцией и назначением устройства.
При расчете магнитной цепи с постоянным магнитом требуется определить магнитный поток и индукцию в воздушном зазоре или по заданному потоку найти оптимальные размеры постоянного магнита (наименьшие объем и габариты).

Характеристики размагничивания постоянных магнитов

Величины остаточной магнитной индукции В_г и коэрцитивной силы H_с характеризуют материал постоянного магнита: чем они больше, тем выше его качество. Как известно, на петле гистерезиса В_г соответствует Н = 0, а при В = 0 Н = Н_с.
Рис. 9.12. Магнитные цепи с постоянными магнитами

Рис. 9.13. Характеристики размагничивания постоянных магнитов:
1 — АНКО-4; 2 — АНКО-2; З-АН-2; 4 — сталь с 30% СО

Промежуточные магнитные состояния определяются частью петли магнитного гистерезиса, лежащей во второй четверти, — характеристикой размагничивания (рис. 9.12). Эта характеристика используется при расчете постоянных магнитов.
Согласно закону полного тока, сумма магнитных напряжений участков магнитной цепи (рис. 9.12) равна нулю, так как внешняя намагничивающая сила (ампер-витки) отсутствует:
где U_м.т — магнитное напряжение постоянного магнита; — сумма магнитных напряжений всех участков магнитной цепи, включая воздушные зазоры, но без постоянного магнита.

Левая и правая части равенства (9.5) связаны с магнитной индукцией и потоком определенными зависимостями: Ф_т(U_м.т) — кривая размагничивания постоянного магнита (по форме повторяет кривую размагничивания материала, из которого выполнен постоянный магнит); Ф_м(U_м.с) — кривая намагничивания части конструкции устройства, изготовленной из магнитно-мягкого материала; Ф(U_м0) — прямая, проходящая через начало координат и повторяющая в других масштабах зависимость

Определение магнитного потока в магнитной цепи с постоянным магнитом

Пренебрегая потоком рассеяния и магнитным напряжением в участках из магнитно-мягкого материала (), можно построить в общей системе координат зависимости и .

В этом случае искомый магнитный поток Ф определяется точкой их пересечения (рис. 9.14).

Магнитная индукция в воздушном зазоре
Из равенства (9.5) следует, что напряженности поля в воздушном зазоре и магните направлены в противоположные стороны.

При отсутствии воздушного зазора (постоянный магнит замкнут) остаточная индукция имеет величину В_г, а при наличии зазора будет меньше В_г (рис. 9.14). Воздушный зазор создает эффект размагничивания магнита.

Рис. 9.14. К расчету магнитной цепи с постоянным магнитом

Задача 9.12.

Определить магнитный поток и индукцию в воздушном зазоре постоянного магнита (см. рис. 9.12, а), если магнит, изготовленный из сплава АНКО-2, имеет длину l_т= 10 см; S_Т = 4 см2. Полюса и цилиндрический сердечник изготовлены из магнитно-мягкой стали, имеют общую длину l_м = 15 см; воздушный зазор между полюсом и сердечником δ = 0,2 см с каждой стороны и площадь S = 10 см2. Характеристика размагничивания сплава АНКО-2 представлена на рис. 9.13.Решение. Построим зависимость магнитного потока в магните от магнитного напряжения Ф(U_м.т).
Для этого, согласно кривой 2 на рис. 9.13, берем величины В и Н, подсчитываем Ф и U_м.т и результаты подсчета сводим в табл. 9.3.
Для тех же величин магнитного потока определим U_м0 = Нδ для воздушного зазора. Величинами H_сl_с для участков из стали пренебрегаем из-за их незначительной величины.

Т а б л и ц а 9.3

Для потока Ф = 3,28 • 10-4 Вб

Результаты подсчетов сводим в табл. 9.4.

Таблица 9.4

Зависимости Ф(U_м.т) и Ф(U_м0) построены на рис. 9.14. В точке пересечения этих графиков находим магнитный поток:
Магнитная индукция в воздушном зазоре

Рекомендую подробно изучить предметы:

Электротехника
Основы теории цепей

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Энергия магнитного поля
Синусоидальные Э.Д.С. и ток
Электрические цепи с взаимной индуктивностью
Резонанс в электрических цепях
Электромеханические аналогии
Индуктивно связанные электрические цепи
Фильтры и топологические методы анализа линейных электрических цепей
Электрическое поле и его расчёт

Магнитный поток

Прежде чем говорить об электромагнитной индукции и самоиндукции, нам нужно определить сущность магнитного потока.

Представьте, что вы взяли в руки обруч и вышли на улицу в ливень. Потоки воды будут проходить через обруч.

Если держать обруч горизонтально, то через него пройдет много воды. А если начать его поворачивать — уже меньше, потому что он расположен не под прямым углом к вертикали.

Теперь давайте поставим обруч вертикально — ни одной капли не пройдет сквозь него (если ветер не подует, конечно).

Магнитный поток очень похож на поток воды, проходящей через обруч, только считаем мы величину прошедшего через площадь магнитного поля, а не дождя.

Магнитным потоком через площадь S контура называют скалярную физическую величину, равную произведению:

модуля вектора магнитной индукции B,
площади поверхности S, которую пронизывает поток,
и косинуса угла α между направлением вектора магнитной индукции и вектора нормали (перпендикуляра к плоскости данной поверхности).

Магнитный поток

Ф — магнитный поток

B — магнитная индукция

S — площадь пронизываемой поверхности

n — вектор нормали (перпендикуляр к поверхности)

Магнитный поток можно наглядно представить как величину, пропорциональную числу магнитных линий, проходящих через данную площадь.

В зависимости от угла α магнитный поток может быть положительным (α < 90°) или отрицательным (α > 90°). Если α = 90°, то магнитный поток равен 0.

Изменить магнитный поток можно, меняя площадь контура, модуль индукции поля или расположение контура в магнитном поле (поворачивая его).

В случае неоднородного магнитного поля и неплоского контура магнитный поток находят как сумму магнитных потоков, пронизывающих площадь каждого из участков, на которые можно разбить данную поверхность.

Изображение линий магнитной индукции

Чтобы наглядно изучить распределение поля в пространстве, уменьшают размеры измерительных элементов. Для эксперимента подойдут железные опилки, равномерно рассыпанные на поверхности картонного листа или другой электрически нейтральной плоскости.

Линии магнитной индукции – наглядное изображение распределения силового поля

Если поднести с обратной стороны магнит, металлические частицы, как миниатюрные стрелки компаса, распределяться вдоль силовых полос. По расстоянию между ними можно судить об энергетических параметрах поля в определенном месте. Аналогичным образом создают рисунок. Большая густота (около полюсов) свидетельствует об увеличенном значении индукции.

К сведению. Физическим разделением постоянного магнита на части не получится создать отдельные полюса. В этом – принципиальное отличие от электростатических зарядов определенной полярности, которые также создают силовое поле.

Представленные знания применяют для решения разных инженерных задач. В частности, пригодятся простые правила определения направления тока в проводнике и стороны, в которую перемещается сердечник соленоида.

Поезд на магнитной подушке разгоняется до высоких скоростей с минимальными энергетическими потерями

Магнитное поле прямолинейного тока

Линии магнитной индукции представляют собой концентрические окружности, лежащие в плоскости, перпендикулярной проводнику. Центр окружностей совпадает с осью проводника.

Вид сверху:

Если ток идет вверх, то силовые линии направлены против часовой стрелки. Если вниз, то они направлены по часовой стрелке. Их направление можно определить с помощью правила буравчика или правила правой руки:

Правило буравчика (правой руки)

Если большой палец правой руки, отклоненный на 90 градусов, направить в сторону тока в проводнике, то остальные 4 пальца покажут направление линий магнитной индукции.

Модуль вектора магнитной индукции на расстоянии r от оси проводника:

B=μμ0I2πr..

Модуль напряженности:

H=I2πr.

Магнитное поле кругового тока

Силовые линии представляют собой окружности, опоясывающие круговой ток. Вектор магнитной индукции в центре витка направлен вверх, если ток идет против часовой стрелки, и вниз, если по часовой стрелке.

Определить направление силовых линий магнитного поля витка с током можно также с помощью правила правой руки:

Если расположить четыре пальца правой руки по направлению тока в витке, то отклоненный на 90 градусов большой палец, покажет направление вектора магнитной индукции.

Модуль вектора магнитной индукции в центре витка, радиус которого равен R:

B=μμ0I2R..

Модуль напряженности в центре витка:

H=I2R..

Пример №2. На рисунке изображен проволочный виток, по которому течет электрический ток в направлении, указанном стрелкой. Виток расположен в вертикальной плоскости. Точка А находится на горизонтальной прямой, проходящей через центр витка. Как направлен (вверх, вниз, влево, вправо) вектор магнитной индукции магнитного поля в точке А?

Если мысленно обхватить виток так, чтобы четыре пальца правой руки были бы направлены в сторону тока, то отклоненный на 90 градусов большой палец правой руки показал бы, что вектор магнитной индукции в точке А направлен вправо.

Конструкция катушки

По конструктивному исполнению индуктивные элементы различаются:

видом намотки: винтоспиральная, винтовая; кольцевая;
количеством слоёв: однослойные или многослойные;
типом изолированного провода: одножильный, многожильный;
наличием каркаса: каркасные или бескаркасные (при небольшом количестве витков толстого провода);
геометрией каркаса: прямоугольный, квадратный, тороидальный;
наличием сердечника: ферритовый, из карбонильного железа, электротехнической стали, пермаллоевый (магнитомягкий сплав), металлический (латунный);
геометрией сердечника: стержневой (разомкнутый), кольцо-образный или ш-образный (замкнутый);
возможностью изменять L в узких интервалах (движение сердечника по отношению к обмотке).

Существуют плоские катушки, в печатном исполнении устанавливаемые на платах цифровых устройств.

К сведению. Намотка провода может быть как рядовой (витком к витку), так и в навал. Последний способ укладки провода снижает паразитную ёмкость.

Магнитосфера Земли

Магнитосферой называется пространство, прилежащее к небесному телу и обладающее особыми свойствами, которые определяются взаимодействием МП планеты с заряженными частицами из внешнего пространства. Для Земли диаметр этой сферы составляет более 90 тысяч километров.

Наша планета обладает основным и переменным магнитными полями. Первое формируется электротоками, образующимися на плотном ядре вследствие разницы температур. Второе образуется из-за действия внешних сил (электротоков в атмосфере) и отличается большой нестабильностью. С ним связаны такие явления, как магнитные бури и северное сияние.

Полевое пространство Земли может быть описано рядом показателей, например, его напряженность описывает силу и привязана к географической широте. Магнитное склонение показывает разницу между меридианом (с вектором, направленным на север) и соответствующей позицией магнитной стрелки.

Основные уравнения

Поскольку вектор магнитной индукции является одной из основных фундаментальных физических величин в теории электромагнетизма, он входит в огромное множество уравнений, иногда непосредственно, иногда через связанную с ним напряжённость магнитного поля. По сути, единственная область в классической теории электромагнетизма, где он отсутствует, это пожалуй разве только чистая электростатика.

(Здесь формулы приведем в СИ, в виде для вакуума, где есть варианты для вакуума — для среды; запись в другом виде и подробности — см. по ссылкам).

В магнитостатике

В магнитостатическом пределе наиболее важными являются:

Закон Био — Савара — Лапласа: играет в магнитостатике ту же роль, что закон Кулона в электростатике:

B→(r→)=μ4π∫L1I(r→1)dL1→×(r→−r→1)|r→−r→1|3,{\displaystyle {\vec {B}}\left({\vec {r}}\right)={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{L_{1}}{\frac {I\left({\vec {r}}_{1}\right){\vec {dL_{1}}}\times \left({\vec {r}}-{\vec {r}}_{1}\right)}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{1}\right|^{3}}},}

B→(r→)=μ4π∫j→(r→1)dV1×(r→−r→1)|r→−r→1|3,{\displaystyle {\vec {B}}\left({\vec {r}}\right)={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {{\vec {j}}\left({\vec {r}}_{1}\right)dV_{1}\times \left({\vec {r}}-{\vec {r}}_{1}\right)}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{1}\right|^{3}}},}
Теорема Ампера о циркуляции магнитного поля:

∮∂S⁡B→⋅dl→=μIS≡μ∫Sj→⋅dS→,{\displaystyle \oint \limits _{\partial S}{\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}=\mu _{0}I_{S}\equiv \mu _{0}\int \limits _{S}{\vec {j}}\cdot {\vec {dS}},}

rotB→≡∇→×B→=μj→.{\displaystyle \mathrm {rot} \,{\vec {B}}\equiv {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}.}

В общем случае

Основные уравнения (классической) электродинамики общего случая (то есть независимо от ограничений магнитостатики), в которых участвует вектор магнитной индукции B→{\displaystyle {\vec {B}}}:

Три из четырех уравнений Максвелла (основных уравнений электродинамики)

divE→=ρε, rotE→=−∂B→∂t{\displaystyle \mathrm {div} \,{\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}},\ \ \ \mathrm {rot} \,{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}

divB→=, rotB→=μj→+1c2∂E→∂t{\displaystyle \mathrm {div} \,{\vec {B}}=0,\ \ \ \ \,\mathrm {rot} \,{\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}

а именно:

Закон отсутствия монополя:

divB→=,{\displaystyle \mathrm {div} \,{\vec {B}}=0,}

Закон электромагнитной индукции Фарадея:

rotE→=−∂B→∂t,{\displaystyle \mathrm {rot} \,{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}},}

Закон Ампера — Максвелла:

rotB→=μj→+1c2∂E→∂t.{\displaystyle \mathrm {rot} \,{\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}.}

Формула силы Лоренца:

F→=qE→+qv→×B→,{\displaystyle {\vec {F}}=q{\vec {E}}+q\left,}

Следствия из неё, такие как

Выражение для силы Ампера, действующей со стороны магнитного поля на ток (участок провода с током)

dF→=Idl→×B→,{\displaystyle d{\vec {F}}=\left,}

dF→=j→dV×B→,{\displaystyle d{\vec {F}}=\left,}

выражение для момента силы, действующего со стороны магнитного поля на магнитный диполь (виток с током, катушку или постоянный магнит):

M→=m→×B→,{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {m}}\times {\vec {B}},}

выражение для потенциальной энергии магнитного диполя в магнитном поле:

U=−m→⋅B→,{\displaystyle U=-{\vec {m}}\cdot {\vec {B}},}

а также следующих из них выражения для силы, действующей на магнитный диполь в неоднородном магнитном поле и т. д..
Выражение для силы, действующей со стороны магнитного поля на точечный магнитный заряд:

F→=Kqmr→r3.{\displaystyle {\vec {F}}=K{\frac {q_{m}{\vec {r}}}{r^{3}}}.}

(это выражение, точно соответствующее обычному закону Кулона, широко используется для формальных вычислений, для которых ценна его простота, несмотря на то, что реальных магнитных зарядов в природе не обнаружено; также может прямо применяться к вычислению силы, действующей со стороны магнитного поля на полюс длинного тонкого магнита или соленоида).

Выражение для плотности энергии магнитного поля

w=B22μ{\displaystyle w={\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}}

Оно в свою очередь входит (вместе с энергией электрического поля) и в выражение для энергии электромагнитного поля и в лагранжиан электромагнитного поля и в его действие. Последнее же с современной точки зрения является фундаментальной основой электродинамики (как классической, так в принципе и квантовой).

Влияние числа витков и способа намотки

Катушка индуктивности – это спираль, созданная из проводящего материала. Рабочие параметры изделий будут зависеть от особенностей конструкции. Индуктивность увеличивают:

большим количеством витков на единицу длины;
укрупнением поперечного сечения;
установкой в центральной части сердечника с ферромагнитными характеристиками.

От чего зависит индуктивность катушки, примеры типовых решений

Индуктивность одновиткового контура и индуктивность катушки

Для расчета элементарной конструкции подойдет преобразованная первая формула:

Ф = L * I.

Если рассматривается катушка, это выражение трансформируют в суммарное выражение магнитных потоков (Ψ), образованных отдельными витками:

Ψ = n * Ф.

Аналогичным образом:

Ln = L1 * n.

В действительности для точных расчетов учитывают различия силовых линий в центральной части и на краях конструкции. Для коррекции применяют более сложные выражения.

Индуктивность соленоида

Достаточно длинная электрическая катушка формирует внутри параллельные силовые линии. Для создания равномерного распределения энергии необходимо применять проводник с толщиной намного меньше, по сравнению с диаметром поперечного сечения. Разумеется, необходимо установить одинаковое расстояние между отдельными витками.

Такую конструкцию называют соленоидом. Плотность магнитного потока (B) в центральной рабочей части будет зависеть прямо пропорционально от длины (l) и следующих параметров:

количества витков (N);
тока (i);
плотности намотки (n – число контуров на единицу длины);
площади поперечного сечения (S);
объема (V = S * l).

Ниже приведены основные формулы для вычислений при отсутствии сердечника с учетом магнитной постоянной (m ≈ 1,257 *10-6 Гн/ м):

В = m0 * N * (i/l) = m0 * n * I;
Ψ = m0 * N2 * (I * S/l) = m0 * n2 * i *V;
L = m0 * N2 * (S/l) = m0 * n2 * V.

Индуктивность тороидальной катушки (катушки с кольцевым сердечником)

Для вычисления индукции катушки с сердечником в представленные выше формулы добавляют корректирующий множитель «m». С учетом особой формы изделия необходимо сделать следующие изменения:

L = N2 * ((m0 * m * S)/2π * rL), либо L = N2 * ((m0 * m * h)/2π) * ln(R/r),

где:

2π * rL – длина рабочего элемента со средним радиусом rL;
R (r) и h – наружный (внутренний) радиус и высота тора, соответственно.

Коэффициентом «m» учитывают относительный показатель магнитной проницаемости определенного материала к значению для нейтральной среды (вакуума). Если m намного больше единицы, допускается не учитывать искажения поля, которые создает толстый проводник.

Индуктивность нелинейного тороида

Расчет нелинейного тороида может быть произведен, если задана зависимость В (H) или µ(H). Так как эти зависимости теоретически не выводятся, то для приближенного решения подбирают по кривой В(H) аппроксимирующую функцию.

Пусть аппроксимирующая функция для характеристики В (H) (рис. 1.20)
материала сердечника тороида будет

где а и b — постоянные.

Так как для тороида с ферромагнитным однородным cердечником напряженность поля по-прежнему определяется формулой

то индукция будет равна

а потокосцепление