Метод контурных токов: примеры решения задач

Общий план составления уравнений

1 – Выбор направления действительных токов.

2 – Выбор независимых контуров и направления контурных токов в них.

3 – Определение собственных и общих сопротивлений контуров

4 – Составление уравнений и нахождение контурных токов

5 – Нахождение действительных токов

Итак, после ознакомления с теорией предлагаем приступить к практике! Рассмотрим пример.

Выполняем все поэтапно.

1. Произвольно выбираем направления действительных токов I1-I6.

2. Выделяем три контура, а затем указываем направление контурных токов I11,I22,I33. Мы выберем направление по часовой стрелке.

3. Определяем собственные сопротивления контуров. Для этого складываем сопротивления в каждом контуре.

Затем определяем общие сопротивления, общие сопротивления легко обнаружить, они принадлежат сразу нескольким контурам, например сопротивление R4 принадлежит контуру 1 и контуру 2. Поэтому для удобства обозначим такие сопротивления номерами контуров к которым они принадлежат.

4. Приступаем к основному этапу – составлению системы уравнений контурных токов. В левой части уравнений входят падения напряжений в контуре, а в правой ЭДС источников данного контура.

Так как контура у нас три, следовательно, система будет состоять из трех уравнений. Для первого контура уравнение будет выглядеть следующим образом:

Ток первого контура I11, умножаем на собственное сопротивление R11 этого же контура, а затем вычитаем ток I22, помноженный на общее сопротивление первого и второго контуров R21 и ток I33, помноженный на общее сопротивление первого и третьего контура R31. Данное выражение будет равняться ЭДС E1 этого контура. Значение ЭДС берем со знаком плюс, так как направление обхода (по часовой стрелке) совпадает с направление ЭДС, в противном случае нужно было бы брать со знаком минус.

Те же действия проделываем с двумя другими контурами и в итоге получаем систему:

В полученную систему подставляем уже известные значения сопротивлений и решаем её любым известным способом.

5. Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения.

Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру. То есть другими словами, если ток протекает только в одном контуре, то он равен контурному.

Но, нужно учитывать направление обхода, например, в нашем случае ток I2 не совпадает с направлением, поэтому берем его со знаком минус.

Токи, протекающие через общие сопротивления определяем как алгебраическую сумму контурных, учитывая направление обхода.

Например, через резистор R4 протекает ток I4, его направление совпадает с направлением обхода первого контура и противоположно направлению второго контура. Значит, для него выражение будет выглядеть

А для остальных

Так решаются задачи методом контурных токов. Надеемся что вам пригодится данный материал, удачи!

Источник

Пример расчёта потокораспределения в сети методом контурных уравнений

Для сети (рис. 3) расчитать потокораспределение без учёта потерь мощности методом контурных уравнений.

Рисунок 3 — Схема исследуемой сети

Исходные данные:

\dot S_{2}=35+j15 МВА,

\dot S_{3}=25+j10 МВА,

\dot S_{4}=-20-j10 МВА,

\dot S_{5}=40+j25 МВА,

\underline Z_{12}=5+j17 Ом,

\underline Z_{24}=4+j16 Ом,

\underline Z_{34}=5+j19 Ом,

\underline Z_{13}=8+j30 Ом,

\underline Z_{35}=7+j26 Ом,

\underline Z_{45}=6+j22 Ом.

Запишем систему следующего вида:

\displaystyle \begin{cases}
\dot S_{I}\hat {Z}_{I,I}+\dot S_{II}\hat {Z}_{I,II}=-\dot B_{I} \\
\dot S_{I}\hat {Z}_{II,I}+\dot S_{II}\hat {Z}_{II,II}=-\dot B_{II}
\end{cases}, где

\underline Z_{I,I}=\underline Z_{12}+\underline Z_{24}+\underline Z_{34}+\underline Z_{13}=(5+j17)+(4+j16)+(5+j19)+(8+j30)=22+j82 Ом,

\underline Z_{II,II}=\underline Z_{34}+\underline Z_{45}+\underline Z_{35}=(5+j19)+(6+j22)+(7+j26)=18+j67 Ом,

\underline Z_{I,II}=\underline Z_{II,I}=-\underline Z_{34}=-5-j19 Ом.

Рисунок 4 — Определение знаков перед сопротивлениями в выражении свободной составляющей

Для записи выражений свободных составляющих \dot B_{I} и \dot B_{II} воспользуемся рисунком №4. Данный рисунок, а также все указанные в нем направления стрелок, необходимы исключительно для формирования \dot B_{I} и \dot B_{II}. Направление перетока всегда от базового узла. Направление контурных мощностей неизменно. Если направление данного перетока совпадает с направлением контурного потока, то сопротивление, по которому протекает данный переток мощности, берется со знаком «+». Если направления не совпадают, то сопротивление берется со знаком «-«. В случае однородной сети, вместо сопротивлений можно использовать длины ЛЭП по вышеобозначенному принципу.

\dot B_{I}=-\hat {Z}_{13}\left(\dot S_{3}+\dot S_{4}+\dot S_{5}+\dot S_{2}\right)-\hat {Z}_{34}\left(\dot S_{4}+\dot S_{2}\right)-\hat {Z}_{24}\left(\dot S_{2}\right)=-(8-j30)(25+j10+(-20-j10)+40+j25+35+j15)-(5-j19)((-20-j10)+35+j15)-(4-j16)(35+j15)=-2390+j2840,

\dot B_{II}=-\hat {Z}_{35}\left(\dot S_{5}\right)+\hat {Z}_{34}\left(\dot S_{4}+\dot S_{2}\right)=-(7-j26)(40+j25)+(5-j19)((-20-j10)+35+j15)=-760+j605.

Решив данную систему уравнений относительно \dot S_{I} и \dot S_{II}, получаем следующие значения:

Рисунок 5 — Результат потокораспределения в исследуемой сети

\dot S_{I}=45,195+j21,835 МВА,

\dot S_{II}=24,095+j14,435 МВА

Мощность, протекающая по хорде (ветви, невходящей в состав дерева) равна соответствующей контурной мощности, поэтому

\dot S_{I}=\dot S_{12}=45,195+j21,835 МВА,

\dot S_{II}=\dot S_{45}=24,095+j14,435 МВА.

Теперь найдем оставшиеся перетоки по ветвям, используя I закон Кирхгофа:

\dot S_{24}=\dot S_{12}-\dot S_{2}=45,195+j21,835-(35+j15)=10,195+j6,835 МВА,

\dot S_{43}=\dot S_{24}-\dot S_{4}-\dot S_{45}=10,195+j6,835-(-20-j10)-(24,095+j14,435)=6,100+j2,400 МВА,

\dot S_{35}=\dot S_{5}-\dot S_{45}=40+j25-(24,095+j14,435)=15,905+j10,565 МВА,

\dot S_{13}=\dot S_{3}+\dot S_{35}-\dot S_{43}=25+j10+15,905+j10,565-(6,100+j2,400)=34,805+j18,165 МВА.

Рисунок 6 — Результат потокораспределения из ПК RastrWin

Проверка. Получившиеся значения перетоков по ветвям, исходящим из базы, должны равняться сумме мощностей узлов нагрузок.

\dot S_{13}+\dot S_{12}=34,805+j18,165+45,195+j21,835=80+j40 МВА,

\dot S_{2}+\dot S_{3}+\dot S_{4}+\dot S_{5}=35+j15+25+j10+(-20-j10)+40+j25=80+j40 МВА.

Суть метода контурных токов

Основные принципы данного метода основываются на том факте, что протекающие в ребрах цепи токи, не все считаются независимыми. Присутствующие в системе У-1 уравнения для узлов, четко показывают зависимость от них У-1 токов. При выделении в электрической цепи независимого тока Р-У+1, вся система может быть сокращена до уравнений Р-У+1. Таким образом, метод контурных токов представляет собой очень простое и удобное выделение в цепи независимых токов Р-У+1.

Использование данного способа расчетов допускает, что в каждом независимом контуре Р-У+1 осуществляется циркуляция определенного виртуального контурного тока. Если какое-либо ребро относится лишь к одному конкретному контуру, то значение протекающего в нем реального тока будет равно контурному. В том случае, когда ребро входит в состав сразу нескольких контуров, ток, протекающий в нем, будет представлять собой сумму, включающую в себя соответствующие контурные токи. В этом случае обязательно учитывается направление обхода контуров. Независимыми контурами перекрывается практически вся схема, поэтому ток, протекающий в каком угодно ребре может быть выражен путем контурных токов, составляющих полную систему всех токов.

Для того чтобы построить систему независимых контуров, используется простой и наглядный метод создания планарных графов. На данной схеме ветви и узлы цепи размещаются на плоскости таким образом, что взаимное пересечение ребер полностью исключается. С помощью этого метода плоскость разбивается на области, ограниченные замкнутыми цепочками ребер. Именно они и составляют систему независимых контуров. Данный метод более всего подходит для ручных расчетов схем. Однако его применение может стать затруднительным или вовсе невозможным, если рассматриваемая схема не укладывается в рамки планарного графа.

Другим способом расчетов служит метод выделения максимального дерева. Само дерево представлено в виде подмножества звеньев электрической цепи и является односвязным графом, в котором отсутствуют замкнутые контуры. Для того чтобы оно появилось, из цепи постепенно исключаются некоторые звенья. Дерево становится максимальным, когда к нему добавляется любое исключенное звено, в результате чего образуется контур.

Применение метода выделения максимального дерева представляет собой последовательное исключение из цепи заранее установленных звеньев в соответствии с определенными правилами. Каждый шаг в цепи предполагает произвольное исключение одного звена. Если такое исключение нарушает односвязность графа, разбивая его на две отдельные части, в этом случае звено может возвратиться обратно в цепь. Если граф остается односвязным, то и звено остается исключенным. В конечном итоге, количество звеньев, исключенных из цепи, оказывается равным количеству независимых контуров, расположенных в схеме. Получение каждого нового независимого контура связано с присоединением к электрической цепи конкретного исключенного звена.

Построение системы уравнений

Для построения системы уравнений необходимо выделить в цепи P – У + 1 независимых контуров. По каждому из этих контуров будет составлено одно уравнение по 2-му правилу Кирхгофа. В каждом контуре необходимо выбрать направление обхода (например, по часовой стрелке).

Выделение независимых контуров можно осуществить одним из перечисленных выше методов. Следует отметить, что система независимых контуров, как правило, не единственна, как не единственно и максимальное дерево цепи. Однако системы уравнений, составленные по различным системам контуров, математически эквивалентны, поэтому возможен специальный подбор системы контуров, дающей наиболее простую систему уравнений.

Отметим также, что при любом выборе системы контуров в любом контуре обязательно найдётся ребро, которое входит только в этот контур и ни в какой другой. Таким образом, контурный ток всегда совпадает с током в одном из рёбер этого контура. Например, для схемы, изображённой на рисунке, звено 4 входит только в левый контур, поэтому контурный ток обозначен как I4. То же самое относится к двум другим контурам, токи в которых обозначены как I5 и I6. В литературе встречаются и другие обозначения для контурных токов, например, римскими цифрами (II, III, IIII …), латинскими буквами (IA, IB, IC …) и т.д.

Принцип построения системы уравнений следующий.

Все токи в звеньях выражаем через контурные токи. В данном случае необходимо выразить только те токи, которые не совпадают с одним из контурных токов:

Для каждого контура записываем уравнение по второму закону Кирхгофа:
- В левой части каждого уравнения записываем сумму токов в звеньях, входящих в контур, умноженных на сопротивление соответствующего звена. Суммирование происходит с учётом знака: если ток в звене совпадает с направлением обхода контура, слагаемое записывается со знаком «плюс», в противном случае — со знаком «минус».
- В правой части каждого уравнения записываем сумму ЭДС источников, а также сумму произведений токов источников на сопротивление соответствующего звена. Суммирование также происходит с учётом знака, в зависимости от совпадения или несовпадения направления источника с направлением контурного тока:

Для первого контура (I4):

Для второго контура (I5):

Для третьего контура (I6):

Окончательно получаем систему уравнений

{ ( Z 1 + Z 2 + Z 4 ) ⋅ I 4 − Z 2 ⋅ I 5 − Z 1 ⋅ I 6 = E 4 − Z 2 ⋅ I 4 + ( Z 2 + Z 3 + Z 5 ) ⋅ I 5 − Z 3 ⋅ I 6 = Z 5 J 5 − Z 1 ⋅ I 4 − Z 3 ⋅ I 5 + ( Z 1 + Z 3 + Z 6 ) ⋅ I 6 = E 6 . {displaystyle {egin{cases}(Z_{1}+Z_{2}+Z_{4})cdot I_{4}-Z_{2}cdot I_{5}-Z_{1}cdot I_{6}=E_{4}-Z_{2}cdot I_{4}+(Z_{2}+Z_{3}+Z_{5})cdot I_{5}-Z_{3}cdot I_{6}=Z_{5}J_{5}-Z_{1}cdot I_{4}-Z_{3}cdot I_{5}+(Z_{1}+Z_{3}+Z_{6})cdot I_{6}=E_{6}end{cases}}.}

Оптимизированная процедура составления системы

Как видно из вышесказанного, процедуру составления системы можно упростить следующим образом:

В левой части К-го уравнения записываем произведение контурного тока на сумму сопротивлений всех звеньев, входящих в контур:

где I K {displaystyle I_{K}} — ток контура, для которого записывается уравнение;

Z K 1 . . . Z K n {displaystyle Z_{K1}…Z_{Kn}} — сопротивления звеньев, входящих в этот контур.

От левой части уравнения отнимаем остальные контурные токи, умноженные на суммы сопротивлений звеньев, по которым контур К пересекается с этими контурами:

где I A , I B , . . . {displaystyle I_{A},I_{B},…} — токи контуров, пересекающихся с контуром К;

Z K A 1 , Z K A 2 , . . . {displaystyle Z_{KA1},Z_{KA2},…} — сопротивления звеньев, входящих одновременно в контура К и A.

В правой части уравнения записываем сумму источников ЭДС с учётом знаков («плюс» — если направления ЭДС и обхода контура совпадают, «минус» — в противном случае):

К правой части уравнения прибавляем величины источников тока, умноженные на сопротивление соответствующего звена с учётом знаков («плюс» — если направления источника тока и обхода контура совпадают, «минус» — в противном случае):

Составив уравнения для всех независимых контуров, получаем совместную систему P–У+1 уравнений относительно P–У+1 неизвестных контурных токов.

Электрическая цепь

Источник электрического тока, соединенный проводами с различными электроприборами и потребителями электрической энергии, образует электрическую цепь.

Электрическую цепь принято изображать с помощью схем, в которых элементы электрической цепи (сопротивления, источники тока, включатели, лампы, приборы и т. д.) обозначены специальными значками.

Направление тока в цепи — это направление от положительного полюса источника тока к отрицательному. Это правило было установлено в XIX в. и с тех пор соблюдается. Перемещение реальных зарядов может не совпадать с условным направлением тока. Так, в металлах носителями тока являются отрицательно заряженные электроны, и движутся они от отрицательного полюса к положительному, т. е. в обратном направлении. В электролитах реальное перемещение зарядов может совпадать или быть противоположным направлению тока, в зависимости от того, какие ионы являются носителями заряда — положительные или отрицательные.

Включение элементов в электрическую цепь может быть последовательным или параллельным.

Составление контурных уравнений

При составлении системы контурных уравнений воспользуемся вторым законом Кирхгофа и будем полагать, что (рис. 5.4):

цепь согласно (5.4) содержит независимых контуров;
в цепи имеются источники напряжения с ЭДС
все независимых контуров непосредственно связаны друг с другом, т. е. для к-го и 1-го контуров имеется хотя бы один элемент который входит в оба эти контура, причём

При этих условиях, выбранных независимых контурах и заданных направлениях отсчётов контурных токов запишем уравнение для первого контура (см. рис. 5.4) согласно второму закону Кирхгофа:

(5.5)

Выразим напряжения на элементах 1-го контура через токи ветвей по закону Ома:

или в общем виде:

(5.6)

— ток в -ой ветви;
— напряжение в -ой ветви;
— сопротивление элемента, общего для 1-го и -го контуров.

Подставим (5.6) в (5.5)

(5.7)

и выразим токи ветвей через контурные токи, нумерация которых осуществляется римскими цифрами и прямыми латинскими буквами. Из рис. 5.4 видно, что:

Произведём замену токов ветвей в выражении (5.7) через соотношения (5.8):

Умножим полученное уравнение на-1, раскроем скобки, приведём подобные члены и перенесём в правую часть известные значения напряжений источников; после выполнения этих действий контурное уравнение принимает вид

Подобное уравнение можно было бы составить и для любого другого контура, поэтому полученный результат позволяет сделать обобщающие выводы:

в левую часть каждого из уравнений входит N слагаемых, пропорциональных искомым контурным токам
коэффициент при контурном токе -го контура, для которого составляется уравнение, представляет собой арифметическую сумму сопротивлений этого контура;
остальные слагаемые представляют собой произведение сопротивления элемента общего для -го и -го контуров, на контурный ток 1-го контура; эти слагаемые входят в уравнение со знаком «+», если направления токов -го и -го контуров в элементе совпадают; в противном случае они входят в уравнение с отрицательным знаком.

Аналогично записываются узловые уравнения для всех других контуров цепи, в результате чего образуется система контурных уравнений вида:

(5.9)

где:

— собственное сопротивление k-го контура, оно определяется как арифметическая сумма сопротивлений всех элементов -го контура;
— взаимное сопротивление -го и -го контуров цепи , оно является сопротивлением элемента, общего для -го и -го контуров; слагаемые вида входят со знаком «+» при совпадении направлений токов в этих контурах; если связь между -ым и -ым контурами осуществляется через несколько элементов активного сопротивления, то представляет собой арифметическую сумму соответствующих взаимных сопротивлений, причём
— контурный ток -го контура цепи;
— контурная ЭДС -го контура цепи, представляющая собой алгебраическую сумму ЭДС независимых источников, имеющихся в контуре; слагаемые этой суммы имеют знак «+», если заданное направление отсчёта ЭДС источника совпадает с выбранным направлением отсчёта контурного тока.

Система контурных уравнений (5.9) составлена относительно неизвестных контурных токов и записана в канонической форме, а именно:

контурные ЭДС, как свободные члены, записываются в правых частях уравнений;
неизвестные контурные токи записываются в левых частях уравнений с последовательно возрастающими индексами;
уравнения располагаются в соответствии с порядковыми номерами контуров.

Пример 5.2.

Записать систему контурных уравнений для удлинителя (рис. 5.3).

Решение. Предварительно найдём собственные и взаимные сопротивления трёх контуров:

I контура:

• собственное сопротивление
• взаимные сопротивления: со вторым контуром с третьим контуром

II контура:

• собственное сопротивление
• взаимные сопротивления: с первым контуром с третьим контуром

III контура:

• собственное сопротивление
• взаимные сопротивления: с первым контуром с третьим контуром

Заметим, что:

направление контурного тока совпадает с направлением контурного тока и противоположно направлению контурного
тока
направления контурных токов совпадают;
в контуре I имеется контурный независимый источник с ЭДС, равной а два других контура источников не имеют.

Теперь можно записать систему контурных уравнений, руководствуясь указанными ранее правилами:

Определение и суть метода контурных токов

По данному методу в исследуемой цепи выделяются независимые плоские замкнутые контуры, включающие все, без исключения, элементы. Предполагается, что в каждом контуре может протекать некоторый контурный ток. В том случае, если цепь с элементом принадлежит только одному контуру, то ток через входящие в нее элементы равен контурному. Если элемент охватывается несколькими контурами, то он в ней равен алгебраической (с учетом направления) сумме контурных токов.

Разбиение цепи на контуры

Важно! Суммирование должно производиться строго с учетом направления движения при обходе контура. Знак «плюс» – при совпадении направления, «минус» – при противоположном. При составлении уравнений учитываются входящие в схему источники ЭДС и тока

При составлении уравнений учитываются входящие в схему источники ЭДС и тока.

На практике удобнее преобразовать идеальный источник тока в идеальный источник ЭДС. Преобразование выполняется согласно закона Ома:

U=I∙r, где r – внутреннее сопротивление источника тока (напряжения).

Методика расчета используется как в цепях постоянного, так и переменного напряжения. При расчетах цепей переменного напряжения с реактивными элементами используются комплексные величины, затем вычисляются мгновенные и амплитудные величины токов и напряжений и углы сдвига фаз между ними.

Цепь с реактивными элементами

4.2 Метод контурных токов

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа громоздок. Имеется возможность уменьшить количество совместно решаемых уравнений системы. Число уравнений, составленных по методу контурных токов, равно количеству уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа. Метод контурных токов заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются, на основании второго закона Кирхгофа, так называемые контурные токи, замыкающиеся в контурах. На рис. 4.2 в качестве примера изображена двухконтурная схема, в которой I11и I22- контурные токи.

Рис. 4.2

Токи в сопротивлениях R1и R2равны соответствующим контурным токам. Ток в сопротивлении R3, являющийся общим для обоих контуров, равен разности контурных токов I11и I22, так как эти токи направлены в ветви с R3встречно.

Порядок расчета

Выбираются независимые контуры, и задаются произвольные направления контурных токов. В нашем случае эти токи направлены по часовой стрелке. Направление обхода контура совпадает с направлением контурных токов. Уравнения для этих контуров имеют следующий вид:

Перегруппируем слагаемые в уравнениях

(4.4)

(4.5)

Суммарное сопротивление данного контура называется собственным сопротивлением контура. Собственные сопротивления контуров схемы

Сопротивление R3, принадлежащее одновременно двум контурам, называется общим сопротивлением этих контуров.

где R12- общее сопротивление между первым и вторым контурами; R21- общее сопротивление между вторым и первым контурами. E11= E1и E22= E2- контурные ЭДС. В общем виде уравнения (4.4) и (4.5) записываются следующим образом:

Собственные сопротивления всегда имеют знак «плюс». Общее сопротивление имеет знак «минус», если в данном сопротивлении контурные токи направлены встречно друг другу, и знак «плюс», если контурные токи в общем сопротивлении совпадают по направлению. Решая уравнения (4.4) и (4.5) совместно, определим контурные токи I11и I22, затем от контурных токов переходим к токам в ветвях. Ветви схемы, по которым протекает один контурный ток, называются внешними, а ветви, по которым протекают несколько контурных токов, называются общими. Ток во внешней ветви совпадает по величине и по направлению c контурным. Ток в общей ветви равен алгебраической сумме контурных токов, протекающих в этой ветви. В схеме нарис. 4.2

4.3. Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов позволяет составить систему уравнений, по которой можно определить потенциалы всех узлов схемы. По известным разностям узловых потенциалов можно определить токи во всех ветвях. В схеме на рисунке 4.3 имеется четыре узла.

Рис. 4.3

Потенциал любой точки схемы можно принять равным нулю. Тогда у нас останутся неизвестными три потенциала. Узел, величину потенциала которого выбирают произвольно, называют базисным. Укажем в схеме произвольно направления токов.

Примем для схемы ᵠ4 = 0.

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла 1.

(4.6)

В соответствии с законами Ома для активной и пассивной ветви

Где — проводимость первой ветви.

Где — проводимость второй ветви.

Подставим выражения токов в уравнение (4.6).

(4.7)

где g11= g1+ g2- собственная проводимость узла 1.

Собственной проводимостью узла называется сумма проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле. g12= g2- общая проводимость между узлами 1 и 2. Общей проводимостью называют проводимость ветви, соединяющей узлы 1 и 2.

— сумма токов источников, находящихся в ветвях, сходящихся в узле 1. Если ток источника направлен к узлу, величина его записывается в правую часть уравнения со знаком «плюс», если от узла — со знаком «минус». По аналогии запишем для узла 2:

(4.8)

для узла 3:

(4.9)

Решив совместно уравнения (4.7), (4.8), (4.9), определим неизвестные потенциалы φ 1,φ2,φ3, а затем по закону Ома для активной или пассивной ветви найдем токи. Если число узлов схемы — n, количество уравнений по методу узловых потенциалов — (n — 1).

Расчет цепи методом контурных токов.

Метод контурных токов.

Метод контурных токов дает возможность упростить расчет электрических цепей по сравнению с методом расчета по законам Кирхгофа за счет уменьшения числа уравнений, которые приходится решать совместно. Этот метод заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются на основании второго закона Кирхгофа так называемые контурные токи, замыкающиеся в контурах. На рис. 1.22. в виде примера показана двухконтурная цепь, в которой I11 и I22 — контурные токи. Токи в сопротивлениях r1 и r2 равны соответствующим контурным токам; ток в сопротивлении r3 являющемся общим для обоих контуров, равен разности контурных токов I11 и I22, так как эти токи направлены в ветви r3 встречно.

Число уравнений , записываемых для контурных токов по второму закону Кирхгофа, равно числу независимых контуров, то есть для электрической схемы с числом узлов q и числом ветвей p задача нахождения контурных токов сведется к решению системы p-q +1 уравнений. Так, в схеме рис. 1.22 q = 2 p = 3; следовательно, число уравнений равно 3-2+1=2 (число уравнений независимых контуров).

Положительные направления контурных токов задаются произвольно. Направление обхода каждого контура принимается обычно совпадающим с выбранным положительным направлением контурного тока; поэтому при составлении уравнения по второму закону Кирхгофа падение напряжения от заданного контурного тока в сопротивлениях, входящих в контур, берется со знаком плюс. Падение напряжения от тока смежного контура в общем сопротивлении берется со знаком минус, если контурные токи в этом сопротивлении направлены встречно, как это, например, имеет место в схеме рис. 1.22, где направление обоих контурных токов выбрано по ходу часовой стрелки.

Для заданной электрической схемы с двумя независимыми контурами (рис.1.22) могут быть записаны два уравнения по второму закону Кирхгофа, а именно:

, ,

здесь (r1 + r3) и (r2 + r3) — собственные сопротивления контуров 1 и 2, r3 —

общее сопротивление контуров 1 и 2. После определения контурных токов, легко найти и токи всех ветвей.

I1 = I11; I2 = I22 ; I3 = I11 — I22 .

Баланс мощностей.

Все расчеты в электрических цепях проверяют балансом мощностей

Баланс основан на законе сохранения и превращения энергии: сколько энергии выработали источники, столько же ее нагрузки должны потребить. Вместо энергии в балансе можно использовать мощность. Выработанная мощность всеми источниками должна быть равна суммарной мощности, расходуемой в нагрузках.

Баланс мощностей можно сформулировать так: алгебраическая сумма мощностей источников, должна быть равна арифметической сумме мощностей нагрузок. Если направление ЭДС и направление тока ветви не совпадают, то составляющая мощности этого источника в балансе мощностей берется со знаком «минус».

Мощность, отдаваемая источниками ЭДС, равна.

PИ = E I

Если в резисторе не происходит химических реакций, то мощность выделяется в форме тепла, согласно известному закону Джоуля.

PП = R I2

где: I — постоянный ток (А), протекающий через резистор; PП — мощность потерь, измеряемая в ваттах (Вт); R — сопротивление резистора (Ом).

Равенство выражений мощностей источников и мощностей приемников называется уравнением баланса мощностей.

План составления баланса мощностей

1. Если в цепи есть источники тока, то следует любым методом найти напряжения на зажимах источников тока Uk.

Цепи с источником тока

2. вычислить мощность источников.

PИ =	n	m
k = 1	Uk * Jk +	k = 1	Ek * Ik

3. где: N — количество источников тока в цепи; M — количество источников ЭДС в цепи; Uk — напряжение на источниках тока Jk;

m
k = 1	Ek * Ik

—
алгебраическая сумма, здесь положительны те из слагаемых, для которых направления ЭДС Еk и соответствующего тока Ik совпадают, в противном случаи слагаемое отрицательно;
n

k = 1

Uk * Jk

—
алгебраическая сумма, здесь положительны те из слагаемых, для которых направление напряжения на зажимах источника тока Uk и направление его тока Jk во внешней цепи совпадают, в противном случаи слагаемое отрицательно.

PП =
L

k = 1
I2k * Rk

5. где:

L	—	количество приемников в цепи;
L
k = 1	I2k * Rk

—
арифметическая сумма, здесь должны быть учтены как внешние резисторы, так и внутренние сопротивления самих источников.

6. Получаем равенство.

РИ = РП